Capítulo 28: O Problema dos Números de Carmichael [Peço votos]

"Esta questão de teoria dos números ainda traz um caso que se encaixa exatamente nos números de Carmichael, o que a torna um tanto interessante."

Xu Yuan observava a fórmula que escrevera em seu rascunho, refletindo consigo mesmo com um interesse genuíno. Ele já havia estudado sobre os chamados números de Carmichael ao pesquisar o tema. Por definição, um número composto n é um número de Carmichael se, para todo inteiro b que seja coprimo com n, a expressão b^n-b for um múltiplo de n. Além disso, de acordo com o Pequeno Teorema de Fermat, todos os números primos possuem essa característica; por isso, os números de Carmichael também são conhecidos como pseudoprimos.

Em 1994, três matemáticos estrangeiros provaram que existem infinitos números de Carmichael, publicando o artigo em um renomado periódico da área. No entanto, ao tentarem provar o intervalo entre esses infinitos números, encontraram dificuldades, e o problema permanece sem solução até hoje. Muitos no meio acadêmico estudam os números de Carmichael, mas sem grandes avanços. Tendo um tempo livre e encontrando-se com esse desafio por acaso, Xu Yuan decidiu tentar calculá-lo. Afinal, enfrentar problemas matemáticos de alto nível era a melhor forma de estimular o pensamento e descobrir talentos.

O tempo passava segundo a segundo. As sobrancelhas de Xu Yuan se franziram de uma forma rara, indicando que encontrara um obstáculo. Foi apenas quando restavam cinco minutos para a entrega da prova que ele finalmente parou de escrever. Ele pensou consigo mesmo: "Não é à toa que é um problema que até matemáticos têm dificuldade em resolver; é realmente exaustivo tentar solucioná-lo."

Após mais de uma hora de trabalho, a barra de progresso gerada por seu processo mental ainda mostrava um dígito baixo, o que evidenciava a complexidade da questão.

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Tarefa: Prova sobre Números de Carmichael
Disciplina: Matemática
Progresso: 8%
Resultado: Incompleto
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"Pelo menos a barra de progresso está em tendência de alta; o fato de não ter caído significa que minha linha de raciocínio é viável."

Ao sair do estado de aprendizado profundo, Xu Yuan murmurou para si mesmo enquanto observava o painel desaparecer diante de seus olhos. Ele pensava em pedir orientações a Qi Tongxiang quando o sinal para a entrega das provas soou.

...

Ao sair da sala de exames, Lin Haoming aproximou-se rapidamente. Ambos seguiram juntos para pegar o transporte de volta ao hotel.

No caminho, ninguém mencionou o desempenho na prova até se reunirem com o líder da equipe.

"Como foi a manhã, Xu Yuan? Qual o nível de dificuldade das questões deste ano?"

Zhang Yuhui, o líder da equipe que esperava ansiosamente a manhã toda, correu ao encontro dos alunos assim que eles desceram do veículo e perguntou diretamente a Xu Yuan.

Xu Yuan respondeu sem hesitar: "Dentro da normalidade, não achei a dificuldade particularmente alta."

"Que bom, vamos almoçar primeiro", exclamou Zhang Yuhui, visivelmente aliviado.

Ele não notou a reação dos outros, especialmente de Lin Haoming e Li Mingliang, que trocaram olhares, querendo dizer algo, mas contendo-se. Eles seguiram o grupo em silêncio. Durante a prova, haviam esgotado seus cérebros tentando extrair qualquer linha de raciocínio possível. A dificuldade talvez não fosse "absurda", mas certamente não foi tão fácil quanto Xu Yuan descreveu. Ficava claro que a facilidade de Xu Yuan era algo exclusivo dele.

No entanto, como a primeira prova já havia terminado, discutir a dificuldade não fazia sentido; o mais importante era como se preparar para o dia seguinte. A tarde foi reservada para estudos, e os candidatos podiam trocar ideias no hotel. Após o almoço, Zhang Yuhui pediu que Xu Yuan explicasse seu processo de resolução, para ajudar os outros a organizarem suas ideias. Dominar o estilo e os métodos daquelas questões poderia tornar o desempenho do dia seguinte mais fluido.

"As três questões deste ano foram bem clássicas. Além de trigonometria e conjuntos, o problema final de teoria dos números era sobre números de Carmichael", explicou Xu Yuan. "Para concluir a prova com precisão, o segredo é encontrar o caminho certo. Estas são as minhas linhas de raciocínio e o processo detalhado; vocês podem dar uma olhada e comparar."

No quarto do hotel, Xu Yuan reescreveu suas respostas e as entregou para que Lin Haoming e os outros as examinassem. Após lerem atentamente, as expressões de cada um eram diferentes: alguns estavam radiantes, outros franziam a testa. Para eles, a resposta de Xu Yuan era a referência de correção; se algo estava diferente, pressupunham que eles mesmos haviam errado.

"Minha resolução da primeira questão está igual à do irmão Yuan, acho que estou seguro."
"Puxa, usei um teorema errado."
"Se o irmão Yuan não tivesse dito, eu nem saberia que se tratava de um número de Carmichael."
"Será quantos pontos vou perder?"

Xu Yuan ouvia a discussão, mas logo notou que Lin Haoming estava pálido ao seu lado. Ele perguntou prontamente: "O que houve? Por que está com essa cara?"

"Irmão Yuan... acho que errei a questão sobre conjuntos", respondeu Lin Haoming com a voz trêmula.

Ao ouvir isso, até Zhang Yuhui franziu a testa. A prova matinal consistia em apenas três questões discursivas; errar uma significava perder 21 pontos, o que distanciaria muito o aluno do topo do ranking. Se não tivesse um desempenho extraordinário no dia seguinte, as chances de uma medalha de ouro seriam mínimas.

Como colegas de competição, todos compreendiam o sentimento de Lin Haoming e começaram a consolá-lo.

"Não quer dizer que perderá todos os pontos, talvez seja apenas um desconto parcial."
"Não pense nisso agora."
"É, Haoming, apenas foque em fazer uma boa prova amanhã."

Mas Lin Haoming não conseguia se acalmar e balançava a cabeça: "Tenho certeza de que meu método de resolução foi completamente diferente do do irmão Yuan."

Xu Yuan ficou surpreso ao ouvir aquilo, pois, pelo que conhecia da capacidade de Lin Haoming, ele não deveria cometer um erro desse tipo, especialmente em uma questão de conjuntos, que era a mais simples. Ele ponderou por um momento e disse: "Não existe apenas uma forma de resolver cada questão. Escreva o seu processo de demonstração."

...

"Está bem, irmão Yuan."

Lin Haoming voltou a si e pegou o papel para escrever. Como um competidor de alto nível, sua memória sobre a prova era clara, e levou cerca de dez minutos para registrar todo o processo. Com o coração na mão, ele entregou o papel a Xu Yuan.

Xu Yuan analisou o rascunho. Sua primeira impressão foi de que o processo de Lin Haoming era realmente complexo. No entanto, após uma análise cuidadosa, percebeu que, embora o caminho escolhido por ele fosse mais trabalhoso e menos óbvio, a demonstração ainda era válida e chegava ao resultado correto.

Com um leve sorriso nos lábios, ele deu ao colega a segurança que precisava: "Fique tranquilo, você apenas usou um método de demonstração mais trabalhoso, mas não está errado."

A expressão de Lin Haoming mudou instantaneamente de angústia para alívio: "Que bom! Esta noite poderei dormir bem."

"Fico feliz que esteja tudo certo. Aproveitem a tarde para se preparar bem e lutem nesta última batalha amanhã", disse Zhang Yuhui, que observava a cena e finalmente pôde relaxar. Embora aquela fosse sua responsabilidade como líder, a presença de Xu Yuan tornava tudo muito mais fácil. Especialmente ao ver a confiança inabalável de Xu Yuan, ele sentia uma tranquilidade sem precedentes. Ele sentia, vagamente, que aquele poderia ser o melhor desempenho que sua província já tivera em uma competição de matemática.